Замечательный советский и российский актер театра и кино, режиссёр, телеведущий. Народный артист РСФСР.
Родился в Москве в семье известного ученого, доктора химических наук Владимира Ильича Кваши и его супруги Доры Захаровны – врача дефектолога. Отец будущего актера погиб на Ленинградском фронте в декабре 1942 года.
Игорь Кваша рос в арбатских переулках, и до 7 класса учился вполне нормально. А потом в его жизнь пришёл театр. Сразу после школы он спешил в городской Дом пионеров на улице Стопани где самозабвенно занимался в театральной студии. По его собственным словам в школу ходил только для того, что бы получить аттестат, без которого нельзя было поступить в театральное училище.
В 1955 году окончил Школу-студию МХАТ. С 1955 по 1957 год — актёр МХАТ СССР имени М. Горького.
Входил в ту самую группу молодых энтузиастов создавших театр «Современник», на сцене которого играл с первого дня его существования, до конца своей жизни.
Как актер сыграл более чем в 40 спектаклях театра. Как режиссёр поставил пьесы «Кабала святош», «Дни Турбиных», «Кот домашний средней пушистости» и другие.
В кино начал сниматься в начале 60-х годов.
В 1965 году снялся в роли Карла Маркса в фильме Г. Рошаля «Год как жизнь». Его партнером был Андрей Миронов сыгравший Энгельса.
Среди его героев были: атаман Лагутин, из «Достояния республики» и бургомистр из «Того самого Мюнхгаузена», пастор из «Человека с бульвара Капуцинов» и главный равин Москвы из «Паспорта». Он сыграл даже Верховного жреца храма Солнца в приключенческом фильме «Сердца трех» и председателя Центробанка России в одном из фильмов про следователя Турецкого. В 90-е 00-е несколько раз в кино и на сцене сыграл товарища Сталина. Всего фильмография Игоря Владимировича Кваши насчитывает более 70-ти фильмов и сериалов.
Много лет был ведущим популярной телепередачи «Жди меня».
Скончался И.В. Кваша 30 августа 2012 года, похоронен на Троекуровском кладбище, участок №6.